Fonction laplacien-concistante \(g\in\) \(L^1({\Bbb R}^N)\)
Fonction qui respecte les axiomes suivants :

1. \(\int_{{\Bbb R}^N}g(x)\,dx=1\)
2. \(\forall i\in[\![1,N]\!]\), \(\int_{{\Bbb R}^N}x_ig(x)\,dx=0\)
3. \(\forall i\ne j\), \(\int_{{\Bbb R}^N}x_ix_jg(x)\,dx=0\)
4. \(\forall i\), \(\int_{{\Bbb R}^N}x^2_ig(x)\,dx=\sigma\gt 0\)
5. \(\int_{{\Bbb R}^N}\lvert x\rvert^3\lvert g(x)\rvert\,dx\lt +\infty\)

• résultat important : si \(u\) \(\in\mathcal C^3({\Bbb R}^N)\) est tq \(u\) et toutes ses dérivées d'ordre \(\leqslant3\) sont continues et tendant vers une constante à l'infini, on a : $$g_h*u(\mathbf x)-u(\mathbf x)=h\frac\sigma2\Delta u(\mathbf x)+\underbrace{\varepsilon(h,\mathbf x)}_{\lvert\cdot\rvert\leqslant Ch^{3/2} }\quad\text{ avec }\quad g_h:\mathbf x\mapsto\frac1{h^N}g\left(\frac{\mathbf x}h\right)$$
    
• interprétation : l'image floutée est égale à l'image originale + son Laplacien
        
• cette propriété peut aussi être utilisée pour déflouter une image

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer pourquoi cette formule est importante : $$g_h*u(\mathbf x)-u(\mathbf x)=h\frac\sigma2\Delta u(\mathbf x)+\underbrace{\varepsilon(h,\mathbf x)}_{\lvert\cdot\rvert\leqslant Ch^{3/2} }\quad\text{ avec }\quad g_h:\mathbf x\mapsto\frac1{h^N}g\left(\frac{\mathbf x}h\right)$$
Verso: On a laplacien \(\approx\) flou - original.
On a donc un algorithme de défloutage : Original \(\approx\) flou - laplacien.
Bonus: C'est une approximation puisque le laplacien du flou et le laplacien de l'original sont différents.
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner une interprétation des fonctions laplacien-consistantes.
Verso: Les axiomes de la définition sont les conditions nécessaires pour être un noyau de régularisation.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Les fonctions laplacien-consistantes sont-elles positives ?
Verso: Non, mais elles doivent être "en moyenne" positives à cause du premier axiome \(\int_{{\Bbb R}^N}g(x)\,dx=1\).
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Exercices

Développer \((g_h*u)(x)\).

Changement de variable \(y=\frac t{\sqrt h}\).

Développer \(u(x-\sqrt hy)\) à l'ordre \(2\) via Taylor.

En développant, les propriétés des fonctions laplacien-consistantes nous permettent de conclure.